Những năm gần đây, nhị thức Newton là một trong những đề thi đại học. Bài viết này nhằm giới thiệu hai dạng toán chính của nhị thức Newton thường gặp trong các đề thi đại học.
Bạn đang xem: Các Dạng Toán Nhị Thức Newton
A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN.
Công thức nhị thức Newton:
,
.Công thức của một hợp số:
,
Tính chất lũy thừa:
.
B. CÁC DẠNG TOÁN.
HÌNH THỨC 1: Tìm thành viên có chứa
trong phần mở rộng
.
Phương pháp.
Viết phần mở rộng
; Đổi phần mở rộng thành
; thuật ngữ chứa
tương ứng với thuật ngữ chứa
thỏa mãn
.Từ đó suy ra số hạng cần tìm.
Ví dụ 1. Tìm thương
Trong khai triển đa thức:
Trả lời.
Chúng ta có
.
thuật ngữ chứa
tương ứng với thuật ngữ chứa
thỏa mãn
.
Do đó, hệ số của số hạng chứa
Được
.
Ví dụ 2. (D-04) Tìm các từ không chứa
trong khai triển đa thức của biểu thức:
{x} + \frac{1}{{\sqrt{x}}}} \right)^7},x > 0″ class=”latex” />
Trả lời.
Chúng ta có
{x} + \frac{1}{{\sqrt{x}}}} \right)^7} = {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} + {x^{ – \frac{1}{4}}}} \right)^7} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{{\left( {{x^{\frac{1}{ ) 3}}}} \right)}^{7 – k}}} {\left( {{x^{ – \frac{1}{4}}}} \right)^k} = \sum\limits_ { k = 0}^7 {C_7^k{x^{\frac{7}{3} – \frac{{7k}}{{12}}}}}” class=”latex” />.
thuật ngữ không chứa
tương ứng với thuật ngữ chứa
thỏa mãn
.
Do đó, thuật ngữ này không chứa
Được
.
Ví dụ 3. (A-03) Tìm hệ số của số hạng chứa
trong phần mở rộng
biết:
Trả lời.
Giả sử có:
.
Sau đó
.
thuật ngữ chứa
tương ứng với thuật ngữ chứa
thỏa mãn
.
Do đó, hệ số của số hạng chứa
Được
.
Ví dụ 4. (A-04) Tìm thương
trong khai triển đa thức của biểu thức:
Trả lời.
Chúng tôi có một phần mở rộng:
}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{x^{2k}}{{(1 – x)}^k}}” class=”latex” />
.
thuật ngữ chứa
tương ứng với thuật ngữ chứa
Và
thỏa mãn
.
Bởi vì
nên
hoặc
.
Do đó, hệ số của số hạng chứa
Được
.
DẠNG 2. Ứng dụng của nhị thức Newton trong các bài toán có sự tham gia
.
Phương pháp.
Chọn một tiện ích mở rộng
phù hợp ở đây
hằng số.Dùng phép biến đổi đại số hoặc nhận đạo hàm, tích phân.Tùy điều kiện bài toán mà thay
bởi một giá trị nhất định.
Ví dụ 5. (D-02) Tìm số tự nhiên
thỏa mãn công thức:
Trả lời.
Xem xét sự phát triển
.
Chọn
Chúng ta có
.
Lại theo giả thiết ta có
.
Ví dụ 6. (A-06) Tìm thương
trong phần mở rộng
biết:
Trả lời.
Xem xét sự phát triển
.
Chọn
Chúng ta có
.
vâng một lần nữa
nên
.
Một lần nữa, giả sử có
.
Sau đó
.
thuật ngữ chứa
tương ứng với thuật ngữ chứa
thỏa mãn
.
Do đó, hệ số của số hạng chứa
Được
.
Ví dụ 7. (D-08) Tìm số tự nhiên
thỏa mãn công thức:
Trả lời.
Xem xét sự phát triển
.
Chọn lần lượt
Và
Chúng ta có
.
Trừ (1) và (2), ta có
.
Một lần nữa, giả sử có
.
Ví dụ 8. (A-05) Tìm số tự nhiên
thỏa mãn:
Trả lời.
Xem xét sự phát triển
.
Lấy đạo hàm hai vế ta được
.
Thay thế
Chúng ta có
.
Theo giả thiết ta có
.
Ví dụ 9. Chứng minh rằng:
Trả lời.
Xem xét sự phát triển
.
Lấy đạo hàm cấp hai hai vế, ta có:
.
Chọn
Chúng ta có
(đpcm).
Ví dụ 10. (B-03) Cho
là một số tự nhiên. Tổng cộng:
Trả lời.
Xem xét sự phát triển
.
Tích phân từ 1 sang 2 vế cả 2 vế ta có:
.
Như vậy
.
CÁC BÀI TẬP CÙNG
đầu tiên. Tìm thừa số của số hạng chứa
trong biểu thức mở rộng
.
2. (A-2012) Cho
là một số nguyên dương
.
Tìm thành viên có chứa
trong nhị thức Newton
.
3. (A-02) Khai triển biểu thức
biết rằng trong phần mở rộng này
và số hạng thứ tư bằng nhau
. Tìm thấy
Và
.
4. (D-07) Tìm thương
trong khai triển đa thức của biểu thức:
5.
Xem thêm: Đề cương ôn tập lớp 10 học kì 2 có đáp án, Đề cương ôn tập học kì 2
(D-03) S
là số tự nhiên, cho
là hệ số
trong phân tích đa thức
. Tìm thấy
ĐẾN
.
