Bài viết hướng dẫn cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy thông qua lý thuyết và các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Bạn đang xem: Viết phương trình tổng quát của một đường thẳng

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$, ta cần xác định:+ Điểm $A({x_0};{y_0}) \in \Delta $.+ Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {a ;b } \right) $ của $Δ.$Vậy phương trình tổng quát của $Δ$ là $a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = $0.Chú ý:Một. Dòng $Δ$ có phương trình tổng quát: $ax + by + c = 0$, ${a^2} + {b^2} \ne 0$ được $\overrightarrow n \left( {a;b } \ phải) $ làm véc tơ pháp tuyến.b. Nếu hai đường thẳng song song thì VTPT của đường thẳng này cũng chính là VTPT của đường thẳng kia.c. Phương trình của đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ có dạng $Δ$: $a\left( {x – {x_0}} \ phải ) + b \left( {y – {y_0}} \right) = 0$ với ${a^2} + {b^2} \ne 0$. Đặc biệt:+ Nếu đường thẳng $Δ$ song song với trục $Oy:$ $Δ:$ $x = {x_0}$.+ Nếu đường thẳng $Δ$ cắt trục $Oy:$ $Δ:$ $y – {y_0} = k \left( {x – {x_0}} \right)$.d. Phương trình của đường thẳng đi qua $A\left( {a;0} \right), B\left( {0;b} \right)$ với $ab \ne 0$ có dạng $\frac{x} { a} + \frac{y}{b} = 1$.

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( {2;0} \right), B\left( {0;4} \right), C(1;3)$. Viết phương trình tổng quát của: a. Chiều cao $AH$.b. Phân giác của đoạn vuông góc $BC$.c. Dòng $AB$.d. Đường thẳng đi qua $C$ và song song với đường thẳng $AB$.

Một. Vì $AH \bot BC$, nên $\overrightarrow {BC} $ là một vectơ pháp tuyến của $AH.$Ta có $\overrightarrow {BC} \left( {1; – 1} \right)$ cho chiều cao $AH$ đi qua $A$ và thu được $\overrightarrow {BC}$ là một vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là $1.\left( {x – 2} \right) – 1.\left( {y – 0} \right ) = 0$ hoặc $x – y – 2 = 0$.b. Đường vuông góc với đoạn $BC$ đi qua trung điểm của $BC$ và nhận vectơ $\overrightarrow {BC} $ làm vectơ pháp tuyến. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ thì ${x_I} = \frac {{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{1}{2}$, ${y_I} = \frac {{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac { 7}{2}$ $ \Rightarrow I\left( {\frac{1}{2};\frac{7}{2 }} \right)$. Viết phương trình tổng quát của đường vuông góc $BC$: $1.\left( {x – \frac{1}{2}} \right) – 1.\left( {y – \frac{ 7}{2} } \right) = 0$ hoặc $x – y + 3 = 0$.c. Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ có dạng $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1$ hoặc $2x + y – 4 = 0$.d. Giải bằng hai cách:Cách 1: Dòng $AB$ có VTPT $\overrightarrow n \left( {2;1} \right)$ , nên do dòng cần tìm song song với dòng $AB$ , nên nó phải có $\overrightarrow n \left ( { 2 ;1} \right)$ là VTPT nên phương trình tổng quát là $2.\left( {x – 1} \right) + 1.\left( {y – 3} \right) = 0$ hoặc $2 x + y – 5 = 0 đô la.Cách 2: Đường thẳng $Δ$, song song với đường thẳng $AB$, có dạng $2x + y + c = 0$ Điểm $C$ trong $Δ$ suy ra $2,1 + 3 + c = 0$ $ \Rightarrow c = – 5$ Do đó đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát $2x + y – 5 = 0$.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng $d:x – 2y + 3 = 0$ và điểm $M\left( { – 1;2} \right)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ biết: a. $Δ$ đi qua điểm $M$ và có hệ số góc $k = 3$.b. $Δ$ đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$.c. $Δ$ là đường đối xứng $d$ đi qua $M$.

Một. Đường thẳng $Δ$ có hệ số góc $k = 3$ có phương trình dạng $y = 3x + m$. Mặt khác $M \in \Delta $ $ \Rightarrow 2 = 3.\left( { – 1} \ right ) + m$ $ \Mũi tên sang phải m = 5$ Phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ có dạng $y = 3x + 5$ hoặc $3x – y + 5 = 0$.b. Ta có $x – 2y + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$, do đó hệ số góc của đường thẳng $d$ bằng ${ k_d } = \frac {1}{2}$. Vì $\Delta \bot d$, hệ số góc của $Δ$ là ${k_\Delta }$, sau đó là ${k_d}. {k_\Delta } = – 1 \Rightarrow {k_\Delta } = – 2$. Do đó, $\Delta :y = – 2x + m$, $M \in \Delta $ $ \Rightarrow 2 = – 2.( – 1) + m$ $ \Rightarrow m = – 2$. Rút ra phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta $ là $y = – 2x – 2$ hoặc $2x + y + 2 = 0$.c. Giải bằng hai cách:Cách 1: Ta có $ – 1 – 2,2 + 3 \ne 0$, do đó $M \notin d$, do đó đường thẳng $Δ$, đối xứng với đường thẳng $d$ qua $M$, sẽ song song với đường thẳng $ d$ qua một dòng $ Δ$ có VTPT $\overrightarrow n \left( {1; – 2} \right)$. Ta có $A\left( {1;2} \right) \in d$, gọi $A ‘ $ đối xứng $A$ qua $M$, sau đó gọi $A’ \in \Delta $. Ta có $M$ ở giữa $AA’$.$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array} {*{ 20}{c}}{{x_M} = \frac{{{x_A} + { x_{ A’}}}}{2}}\\{{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_{ A’}}}}{2}}\end{array}} \right.$ ${ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{ A’} } = 2{x_M} – {x_A} = – 3}\\{{y_{ A’ }} = 2{y_M} – {y_A} = 2}\end{array}} \right.}$ $ \Rightarrow A’\left( { – 3;2} \right)$. Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ là $1.\left( {x + 3} \right) – 2\left( {y – 2} \right) = 0$ hoặc $x – 2y + 7 = 0 $ .Cách 2: Gọi $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là một điểm bất kỳ trên đường thẳng $d$, $A’\left( {x;y} \right)$ là một điểm đối xứng với $ từ Một $ đến $M$. Khi đó $M$ là trung điểm của $AA’$, vì vậy:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = \frac{ {{x_0} + x} }{2}}\\{{y_M} = \frac{{{y_0} + y}}{2}}\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\ { {\begin{array} {*{20}{c}}{ – 1 = \frac{{{x_0} + x}}{2}}\\{2 = \frac{{{y_0} + y} }{2}}\end {mảng}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = – 2 – x} \\{ {y_0} = 4 – y }\end{array}} \right.$Ta có $A \in d$ $ \Rightarrow {x_0} – 2{y_0} + 3 = 0$, vì vậy:$ \left( { – 2 – x} \ right ) – 2.\left( {4 – y} \right) + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow x – 2y + 7 = 0$. Do đó, phương trình tổng quát của $ Δ$ đường đối xứng $d$ qua $M$ là $x – 2y + 7 = 0$.

Ví dụ 3: Cho hai cạnh của hình bình hành có phương trình $x – y = 0$ và $x + 3y – 8 = 0$, tọa độ của một đỉnh của hình bình hành bằng $\left( { – 2;2} \right )$ . Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.

Đặt tên cho hình bình hành $ABCD$ với $A\left( { – 2;2} \right)$, vì tọa độ của điểm $A$ không phải là nghiệm của hai phương trình trên nên ta xét $BC: x – y = 0$, $CD:x + 3y – 8 = 0$. Vì $AB\song song CD$, cạnh $AB$ có $\overrightarrow {{n_{CD}}} \left( {1;3 } \right )$ là VTPT, nên phương trình sẽ là $1.\left( { x + 2} \right) + 3.\left( {y – 2} \right) = 0$ hoặc $x + 3y – 4 = 0$. Tương tự, cạnh $AD$ lấy $\overrightarrow {{n_{BC}}} \left( {1; – 1} \right)$ làm VTPT nên phương trình là $1.\left( {x) + 2} \ phải ) – 1.\left( {y – 2} \right) = 0$ hoặc $x – y + 4 = 0$.

Ví dụ 4: Ước tính $M\left( {1;4} \right)$. Viết phương trình đường thẳng đi qua $M$ cắt hai tia $Ox$, tia $Oy$ lần lượt tại các điểm $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích nhỏ nhất.

Xem thêm: Mẹo giải đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Đồng Nai năm 2022

Đặt $A\left( {a;0} \right), B\left( {0;b} \right)$, trong đó $a > 0, b > 0$. Khi đó đường thẳng đi qua $A, B$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Vì $M \in AB$ nên $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1$. Mặt khác ${S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA. OB = \frac{1}{2}ab$. Áp dụng phương trình Kosian, ta có: $1 = \frac{1}{a} + \frac{4}{b} \ge 2\sqrt {\frac{4 } {{ab}}} $ $ \Rightarrow ab \ ge 16 \Rightarrow {S_{OAB}} \ge 8$. Tôi kết luận rằng ${S_{OAB}}$ là nhỏ nhất nếu $\frac{1}{a} = \frac{4}{b}$ và $\frac{1}{a} + \frac{4} { b} = 1$ nên $a = 2; b = $8. Vậy phương trình của đường thẳng cần tìm là $\frac{x}{2} + \frac{y}{8} = 1$ hoặc $4x + y – 8 = 0$.