– Chọn bài – Hàm Lượng giác Phương trình lượng giác cơ bản. Đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác Vi phân Đạo hàm cấp hai Phần V Ôn tập

Bạn đang xem: Toán về giới hạn của dãy số

Xem thêm: 15 trang web học toán trực tuyến miễn phí tốt nhất lớp 12 trực tuyến miễn phí

Ta nói rằng một dãy (un) có giới hạn 0 khi n tiến đến dương vô cùng nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý bắt đầu bằng một số hạng. Do đó, (un) có giới hạn bằng 0 khi n → +o, trong đó un có thể càng gần 0 càng tốt miễn là m đủ lớn. – – – (-1)” Ví dụ 1. Cho dãy số (un) với un = . Biểu diễn (un) trên trục số (h.47):-1 113 us 4 Ж2 ii”, i 1. i 9 25 16 4. ‘ulo – nhờ Hình 47 Người ta chỉ ra rằng lim u, = 0, rằng là, Ju , có thể nhỏ hơn /1→ +OO của bất kỳ số dương nào bắt đầu từ một số hạng trở lên. ||0,01 hoặc lu, 嵩( -với mọi n thỏa mãn ผ* > 100 hoặc n > 10. Nói cách khác, lu,| 100.000 hoặc n > N100.000 s:316.2. Do đó, lu, | a nếu n → + CO. JIー>+○○8-LENGTH , ALTERNATIVE 11-A 113Ví dụ 2. Cho dãy (yn) với vn 2n + 1. Chứng minh rằng lim vn *1-*+○ Ta có lim (vn – 2) = lim + 1 -)om →÷oC –oolim 1. = 0.n-» +oo/2n + 1Vậy lim vn = lim = 2. — ho –h2.Một số giới hạn đặc biệt Từ định nghĩa suy ra kết quả sau: a ) lim l = 0 .– » +oo V7lim = 0 với k số tự nhiên: n—» +oronb) lim q” = 0, nếu lẻ| 0 với mọi n và limum = thìa >0 và lim Nu, = Na.114 8-LỚN & ĐẠI SỐ 11-B2 Ví dụ 3. Tìm trong-공 1 +2 3— Giải Chia tử số và mẫu số cho n”, ta được 3 .1 + n, বুবু-1 Vì im-= limте -lin = 3-0 = 3 Iге–1 1 . 1 … 1–và lim |— + 1 | = giới hạn •.lim – + lim1 = 0.0 + 1 = 1 hಗ ಕ ಕ 1 – 1 2 3 – – – im(3-)mem limo” ” = lim 1 Iಗ –ಉನ–3 1 + n … + 1 m – ) ಕ ಕ Iಗ m | 2 Ví dụ 4. Tìm lim\ } **. 1 – 2n 2 1 是…} Giải quyết. Tôi có một giới hạn!” “ = lim\,\”)4 1 – 2n 1 – 2n 1 1 n — +4 — +4 2 2 = lim = lim – ! = 2 = -1 1 1 -2 n- -2 – -III – SAD Số nhân RỦI RO TUYỆT VỜI • Số nhân vô hạn (un) có công việc là bội số của q, với |q| , y so보. 보. .. … với hệ số q = 1. 48 2″ 21151 1 1 Y- 1 , –, –, – , …. số hạng thứ, v.v. 20 2 20, .. 10 Tương tự, un > 10° hoặc n ” > 10° nếu n > 10° Như vậy, u, > 10° từ số hạng thứ 10 số hạng″ + 1. Một số hạn chế đặc biệt Ta giả sử các kết quả sau: a) limno = +2 với k là số tự nhiên: b) lim q” = + o nếu q > 1,1183. Định lý Ta chấp nhận định lý sau. SỰ KHÁC BIỆT 2a) Nếu limu, = a và lim vn = +2 thì limon = 0. Vn b) Nếu limum = a > 0, lim vn = 0 và Vn = 0 với mọi n thì lim “n.ニ十○ ○。 Vnc) Nếu limu) = +2O và lim vn = a > 0 thì limu, vn = +oo Ví dụ 7. Tìm limo” – . 5 2 + – Giải. Ta chia tử số và mẫu số cho n ta được 2n + 5. n.3″ в” Vì im(2 — = 2 và lim.3”= +o, 2 + – giới hạn = lim n = 0,2. в” Ví dụ Ví dụ 8. Tìm lim(n” – 2n-1) Lời giải Ta có n” – 2n-1 = n — 17Vì limn” = +2) và im( 一器一是川 = 1 > 0 nên n n m( —– hi inSo lim(n” – 2n − 1) = +2, = 119B. A. TÔI TRẢ LẠI HỌ CHO H|CH Lf ZENONG Đã học về giới hạn của các con số, làm thế nào chúng ta có thể giải thích nghịch lý của “A-sin ” không đuổi kịp rùa”? Để đơn giản, ta chỉ xét trường hợp cụ thể (trường hợp chung cũng được xử lý tương tự). Vận tốc chạy của A-sin là 100 km/h, vận tốc chạy của rùa là 1 km /h Lúc đầu rùa ở điểm A cách A-sin 100 km (h.50) Hình 50. Ta tính thời gian. , …, An-1A, … Nếu đây số lượng là vô hạn, thì Asin không thể đuổi kịp con rùa, và nếu nó là hữu hạn, thì A-sin sẽ cần bao nhiêu thời gian để đuổi kịp con rùa. A-sin cần thời gian t1 = 器 = 1 ( х) để chạy hết quãng đường OA1 = 100 (km) thì thời gian là Trong trường hợp này, rùa đã chạy quãng đường AIA2 = 1 (km). cả quãng đường AIA2 = 1 (km) thì A-sin t2 = 志” Theo thời gian, 12 con rùa chạy được quãng đường lớn hơn A2A3 = (km). 1. Tiếp tục chạy hết quãng đường A-4An = 00- 2 100″(km), A-sin mất thời gian tu = 100′(h) nên tổng thời gian A-sin chạy hết quãng đường là OA1, A1A2, A243 …, An-1An,… là “1 +.+ +. (h)T = 1 + … “…là 100 100 100″1001.2.3. Nó là tổng của thừa số nghịch đảo vô hạn với u1 = 1, thừa số *志, nên ta. Có 100 1 T = — = =1–(h).亡斋-崎” 100 Vì vậy, Asin đã nhanh chóng đuổi kịp con rùa. Kết quả trên (đạt được nhờ áp dụng khái niệm giới hạn) cho phép chúng ta giải thích nghịch lý Zeno. Boi top Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. có hại Biết rằng cứ sau T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không gây hại cho sức khoẻ con người (T gọi là chu kì bán rã). un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau khoảng thời gian) Tìm số hạng tổng quát un của dãy (u,..).b) Chứng minh rằng (u,..) có giới hạn bằng 0.c) Từ kết quả của câu b) Chứng tỏ sau một số năm nhất định thì khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc đối với người, chứng tỏ chất phóng xạ đó sẽ không còn độc nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại vẫn còn. nhỏ hơn 10 “g. Biết dãy (không) thỏa mãn và, – 1. với mọi n. Chứng minh rằng 1.limu, = 1. Tìm các giới hạn sau:a) limo”1 b) im” | P = *공 3.n+2 2n+13″ +5.4″c) lim-H ; d) lim- Н-.4 + 2 4 – 2121 Để trang trí căn hộ của mình, chuột Mickey quyết định sơn một miếng bìa cứng hình vuông có cạnh 1 . Cậu tô màu các ô vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3 …, n,…, trong đó cạnh ô vuông tiếp theo bằng một nửa cạnh ô vuông trước đó (h.51) Hình 51 Giả sử quá trình tô màu Mickey tiếp tục vô tận a) Gọi u là diện tích của ô vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u2 và u, b) Tính lim S, cho S, = u1 + u2 + u3 +…+ u, 5. Tính tổng S = -1 + 1 = -1 = + ….. + (- 1 ) +- … 10 102 10′- 6. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202… (chu kỳ là 02). Viết a dưới dạng a phân số 7. Tính các giới hạn sau: a) lim (n + 2n – n + 1); b) lim (-n’ + 5n – 2); c) lim ー” d) lim(Vn-n + n) 8. Cho hai dãy số (un) và ( yn) Biết lim u, =3, lim v) = +o. Tính các giới hạn: a) lim , — 1 b) lim Yn + 2} un + 1 – 1122