Phương trình đường tròn Liên hệ trực tiếp là một phần kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình môn toán ở trường phổ thông. Nắm vững kiến thức này, học sinh dễ dàng giải các bài toán có liên quan. Vì vậy, hôm nay PUD sẽ giới thiệu chi tiết hơn đến các bạn về chủ đề này. Hãy cùng nhau chia sẻ nhé!
Phương trình đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng
Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I và tiếp tuyến với đường thẳng (Delta)
Khi đó bán kính (R = d(I, Delta ))
Ví dụ 1: Tìm phương trình đường tròn (C) có tâm I(-1,2) tiếp xúc với đường thẳng (Delta) x – 2y + 7 = 0
Phần thưởng: Ta có (d(I,Delta)=frac{|-1-4-7|}{sqrt{5}})
Phương trình của đường tròn (C) có dạng ((x+1)^2+(y-2)^2=frac{4}{5})
Hình 2: Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (tam giác)
Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB, tâm I của (C) sao cho (left{start{matrix} I epsilon d & d(I, delta) = IA & end{matrix}right.) Bán kính R = IA
Ví dụ 2: Cho các điểm A(-1;0), B(1;2) và đường thẳng (d): x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc chúng với dòng d.
Bạn đang xem: Viết phương trình đường tròn đi qua một điểm và tiếp xúc với 2 đường thẳng
Phần thưởng: Gọi I(x,y) là tâm đường tròn cần tìm. Từ điều kiện của bài toán, ta có:
IA = IB = r (mũi tên trái-phải) ((x+1)^2+y^2= (x-1)^2+(y-2)^2) (1)
IA = d(I,d) (mũi tên trái) (sqrt{(x+1)^2+y^2}=frac{|x-1-y|}{sqrt{2}}) (2)
Giải hệ 2 phương trình (1) và (2) ta được x = 0, y = 1
Do đó, I(0,1)IA = r = (sqrt{2})
Phương trình của đường tròn (C) có dạng (x^2+(y-1)^2 = 2)
Hình 3: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng (Delta) tại điểm B.
Viết phương trình trung trực d của đoạn AB. Viết phương trình đường thẳng (Delta’) đi qua B và (perp Delta). Xác định tâm của I là giao điểm của d và (Delta’). Bán kính R = IA
Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6,0) và đi qua điểm B(9,9)
Phần thưởng: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn (C).
Vì (C) là tiếp tuyến của trục hoành tại A(6;0) nên (I epsilon d: x = 6)
Mặt khác B nằm trên đường tròn (C) nên I nằm trên đường trung trực của AB.
Ta có phương trình đường trực tâm AB: x + 3y – 21 = 0
Thay x = 6 => y = 5 Từ đó tìm được tọa độ của điểm I(6;5), R = 5
Do đó, phương trình của đường tròn (C): ((x-6)^{2} + (y – 5)^{2} = 25)
Phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng
Hình 1: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng (Delta _{1}, Delta _{2})
Tâm I của (C) thỏa mãn: (left{begin{matrix} d(I,Delta _{1}) = d(I,Delta _{2})& d(I,Delta _{1}) = IA & kết thúc{ma trận}phải.) Bán kính R = IA
Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7y – 5 = 0 và x + y + 13 = 0. Tìm đường tròn tiếp xúc với một trong hai đường thẳng tại điểm M(1,2).
Phần thưởng: Gọi I(x,y) là tâm đường tròn cần tìm. Chúng ta có cùng khoảng cách từ chân I đến chân 2, vì vậy (frac{|7x-7y-5|}{sqrt{5}} = frac{left | x + y + 13 right |}{sqrt{1}}) ( đầu tiên)
và (frac{|x+y+13|}{sqrt{2}}=sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2}) (2)
Giải hệ 2 phương trình (1) và (2) ta được
TH1: x = 29, y = – 2 => R = IM = (20sqrt{2})
Phương trình đường tròn có dạng ((x-29)^2+(y+2)^2=800)
TH2: x = – 6, y = 3 => R = (5sqrt{2})
Phương trình đường tròn có dạng ((x+6)^2+(y-2)^2=50)
Dạng 2: Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng (Delta _{1}, Delta _{2}) và có tâm thuộc đường thẳng d.
Xem thêm: Tại Sao Công Nghiệp Hóa Phải Gắn Với Hiện Đại Hóa Tại Sao Công Nghiệp Hóa Phải Gắn Với Hiện Đại Hóa
Tâm I của (C) thỏa mãn (left{start{matrix} d(I,Delta _{1}) = d(I,Delta _{2})& Iepsilon d & end{matrix}right.)
Bán kính (R = d(I,Delta _{1}))
Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2,-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ
Phần thưởng: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn (C).
Vì (C) là tiếp tuyến của 2 trục tọa độ nên I cách đều 2 trục tọa độ. Đầu ra: |a| = |b|
Nhận xét: Vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên toàn bộ đường tròn nằm ở 1 trong 4 góc của hệ trục và A(2, -1) nằm ở tứ phân vị thứ tư.
=> Tâm I thuộc góc phần tư thứ tư => a > 0, b
Do đó, tọa độ tâm I(a, -a), bán kính R = a, với a > 0
Ta có phương trình đường tròn (C) dạng ((xa)^2 + (y+a)^2 = a^2)
Vì A(-2;1) thuộc đường tròn (C) nên thay tọa độ của A vào phương trình (C) ta được: ((2-a)^2 + (1+a)^2 = a^2 )
Giải phương trình ta được a = 1 hoặc a = 5
Nếu a = 1, ta có phương trình (C) ((x-1)^2 + (y+1)^2 = 1)
Nếu a = 5, ta có phương trình (C) ((x-5)^2 + (y+5)^2 = 5^2)
Bài tập ứng dụng
Bài 1. Viết phương trình đường tròn tâm I(3;−1)”>
